Türkistanlı Harezmi, 9. yüzyılda Ilm al-jabr wa’l-mukabala adlı eserini kaleme alırken matematiğin en geniş ve en temel alanının ismini koyacağını tahmin etmemişti. Al-gebra, yani cebir, sayıların yalnız bir şeyin miktarını, büyüklüğünü verdiği aritmetiğin tükendiği noktada ortaya çıktı. Şimdi elimizde her sayının sıfıra olan (Harezmi sıfırın matematiksel bir rakam olarak kullanılmasından da sorumludur.) uzaklığı, dolayısıyla negatif sayılar var. Artık sayıların yerine semboller kullanabiliyor, denklem yazabiliyor ve bu denklemlerin genelleştirilmiş hali olan formüllere ulaşabiliyoruz. Peki cebirle geometrinin arasındaki ilişki nedir? Fransız matematikçi Sophie Germain şöyle diyor: “Cebir yazılı geometriden, geometri ise çizilmiş cebirden başka bir şey değildir.” Cebirsel geometri, yani İslam tarihinde izini sürdüğümüz çalışmaların paralleller öğretisinden sonra en yoğunlaştığı alan, Sophie Germain’in dediği üzere birbirinden farkı olmayan iki kolun kaynaşması. Kısaca, geometrinin imdadına cebirsel çözümlerin yetişmesi.
Horosanlı Musa b. Şakir vefat ettikten sonra, Muhammed, Ahmed ve Hasan adlı üç çocuğun eğitimini Abbasi Halifesi Me’mun üstlendi. Benu Musa (Musa’nın oğulları) adıyla zikredilen bu kardeşler halifenin ilgisini bilim ve teknik konusundaki üstün çalışmaları dolayısıyla çekmişti. Orjinal eserlere ulaşmak için Yunanistan ve Küçük Asya’yı geziyor, servetlerinin çoğunu teknik materyallere harcıyorlardı. Hasan, astronomi ve mekanik dışında geometriyle de yakından ilgilendi. Onun özellikle üzerinde durduğu nokta Pergeli Apollonios’un konik kesitlere dair ürettiği problemler ve çözümlerdir. Astronomi alanındaki yüksek başarılarından da anlaşılacağı üzere, Musa kardeşlerin ilme olan düşkünlüğü beraberinde özgün bir bakış açısı yakalamalarına da yardımcı olmuştur. Bundan dolayı Hasan’ın övgüye değer tarafı bir açının üç eşit parçaya bölünmesine dair problemi çözerken daha sonraları Pascal Salyangozu olarak adlandırılacak eğriyi bulmasından ziyade, çeviri yoluyla elde ettiği birikime yeni argümantasyonlar, semboller ve yöntemler katma girişimleri olmuştur.
Bir küre, bir düzlem yoluyla belli oranlı iki ayrı bölmeye nasıl ayrılır? Arşimet’in sorduğu bu soru 10. yüzyılda çözüldü. Cebiri geometriye uygulayan Ebu Ca’fer el-Hazin koni kesitlerinin de yardımıyla üçüncü dereceden bir denklemle bunu başarmıştı. İbn’ül Heysem de aynı metodu kullanarak sorunun cevabına ulaştı. Ama İbn’ül Heysem’in cebirsel geometri için attığı büyük adım Kitab’el Menazır’da ortaya koyduğu Problema Alhazeni’dir. Küresel aynalarda yansıtma noktasını araştıran bu sorunu İbn’ül Heysem dördüncü dereceden bir denklemle çözmüş, Avrupalı bilginlerin kafasını 19. yüzyıla kadar kurcalamıştır.
“Maalesef Avrupa Yakın Çağa kadar onun mükemmel eserinin daha kesin bilgisinden mahrum kalmıştır. Fermat, Descartes, van Schooten, E. Halley vd. benzer konstrüksiyonları yeniden bulmak zorunda kalmışlardır.” J. Tropfke 1937 yılında bunları söylerken Ömer el-Hayyam’dan bahsediyordu. Hayyam’ı geometride bu denli yükseğe taşıyan başarı nedir? Öncelikle o kübik denklemlerin genel bir öğretisini sunmuştur. Cebirle aritmetiğin arasındaki fark, artık onda nihai bir çözüme ulaşmıştır. Descartes’ın sonradan formüle edeceği, dairenin ve düz çizgilerin üçüncü denklemlerde yetersiz kaldığını da öncelikle Hayyam dile getirmiştir. Dik açılı koordinatlar sistemi de onun keşfidir. Belki de Ömer Hayyam’ı meşhur bir matematikçi yapan şey, sayılar ve şekillerle ilgilenen zihninin arkasındaki onun ayırt edici felsefi düşünüş ve kavramasıdır.
